Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x+1}-1，x＞a\\-{x^2}-6x-5，x≤a\end{array}$，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [-1，0]
• D． [-1，0）

Answer 1

分析 问题转化为y=-t²-4t和$y=t+\frac{1}{t}-2$的交点问题，结合函数的图象求出a的范围即可．

解答 解：令x+1=t，
则$y=\left\{\begin{array}{l}t+\frac{1}{t}-2，t＞a+1\\-{t^2}-4t，t≤a+1\end{array}\right.$，
在同一坐标系内作出y=-t²-4t和$y=t+\frac{1}{t}-2$的图象，
如图示：
，
显然若函数f（x）在定义域上有三个零点，
有a+1∈[0，1），即a∈[-1，0），
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，是一道中档题．