Question

2．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＜1}\\{（x+a）（x+2a），x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 分别设h（x）=2^x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．

解答 解：设h（x）=2^x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），
若在x＜1时，h（x）=2^x+a与x轴有一个交点，则a＜0，并且当x=1时，h（1）=2+a＞0，-2＜a＜0，
而函数g（x）=（x+a）（x+2a）有一个交点，所以-2a≥1，且-a＜1，
∴-1$＜a≤-\frac{1}{2}$；
当a≤-2时，在（-∞，-1）上，h（x）=2^x+a与x轴无交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上有两个交点（-2a，0），（-a，0）．
当a≥0时，函数h（x）=2^x+a在x＜1时，与x轴没有交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上与x轴无交点．
综上所述a的取值范围是$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．
故答案为：$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．