Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N^*），求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b100b101

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：常规题型,等差数列与等比数列

分析：（1）由Sn+

1

2

an=1，知Sn=-

1

2

an+1．当n=1时，S1=-

1

2

a1+1，则a₁=

2

3

，当n≥2时，S_n-1=-

1

2

a_n-1+1，故a_n=

1

3

a_n-1，由此能够求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）求出1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，代入b_n=log₃（1-s_n）中得b_n=-n-1，利用

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，化简，问题得以解决．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=s₁，由S₁+

1

2

an=1，得a1=

2

3

，
当n≥2时，
∵Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1，
∴Sn-Sn-1=-

1

2

(an-an-1)，
∴an=

1

3

an-1，
∴{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
故an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（2）∵1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，
∴bn=log3(1-Sn+1)=log3(

1

3

)n+1=-n-1
∵

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b100b101

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

100

-

1

101

)
=

1

2

-

1

101

=

25

51

．

点评：考查学生灵活运用做差法求数列通项公式的能力，以及会求等比数列的通项公式及前n项和的公式．