Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=

2

，且f（

A

2

）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（

A

2

）=1，求出A，结合a=2，b=

2

，由正弦定理可求B，进而可求C，最后求出△ABC的面积．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-sin2x=1+cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)+1
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，值域为[-

2

+1，

2

+1]；
(2)∵f(

A

2

)=

2

cos(A+

π

4

)+1=1，
∴cos(A+

π

4

)=0，
∵0＜A＜π，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

5π

4

，
∴A+

π

4

=

π

2

，∴A=

π

4

，
∵a=2，b=

2

，
∴由正弦定理得

2

sin π 4

=

2

sinB

，∴sinB=

1

2

，
∵a＞b，∴A＞B，
∴B=

π

6

，∴C=π-A-B=

7π

12

，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

2

sin

7π

12

=

2

×

2 + 6

4

=

1+ 3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理，考查三角形面积的计算，正确化简函数是关键．