Question

如图，半径都为1的三个圆两两相交，

AB

，

BC

，

AC

的长度相等，

CD

的长度为

π

2

，在图中任一圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）

• A、

  12π

  7π+2 3 +6

• B、

  8π

  7π+2 3 +6

• C、

  10π

  7π+2 3 +6

• D、

  6π+12

  7π+2 3 +6

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据

AB

，

BC

，

AC

的长度相等，

CD

的长度为

π

2

，可知

CD

所对的圆心角α=

π

2

，从而可得图中阴影部分的面积为

3

2

π+3，空白部分面积为

2 3 +π-6

4

，即得结论．

解答： 解：如图：因为

CD

=α•R=

π

2

，所以α=

π

2

，
故图中阴影部分的面积为

π

4

-

1

2

．
所以可得原题中阴影部分的面积为3π-3[2(

π

4

-

1

2

)]=

3

2

π+3．
又因为

AB

，

BC

，

AC

的长度相等，
故△ABC为等边三角形，
则∠EBC=∠BCD=

π

6

，
又∠OCD=

π

4

，
所以∠OCB=∠OCD-∠BCD=

π

4

-

π

6

=

π

12

，
从而∠BOC=∠EBC-∠OCB=

π

6

-

π

12

=

π

12

，
所以BO=BC=AB=AC，
设其长度为x，则CE=

x

2

，BE=

3

2

x，
由于△COE为直角三角形，
所以

.

CO

.

2=

.

CE

.

2+

.

EO

.

2，
即1=

x2

4

+(x+

3

2

x)2，
解得x2=2-

3

．
所以原图内部空白区域的面积为
S_△ABC+3S_弓=

1

2

×(2-

3

)×

3

2

+3×(

1

2

×

π

6

-

1

2

×

1

2

)
=

3

4

×(2-

3

)+

π-3

4

=

2 3 +π-6

4

．
所以整个图形的面积为

2 3 +π-6

4

+

3

2

π+3=

2 3 +7π+6

4

．
故所求概率为

3 2 π+3

2 3 +7π+6 4

=

6π+12

7π+2 3 +6

．
故选D．

点评：本题考查弧长公式，考查扇形的面积公式．