Question

已知点M（3，-2）及圆C：x²+y²-2x-4y+1=0．
（Ⅰ）求过点M的圆C的切线方程；
（Ⅱ）过点M作直线l圆C交于A，B两点，求弦AB中点N的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，然后分切线的斜率存在和不存在求解，当斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时，设出切线方程的点斜式，化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径求斜率，则曲线方程可求；
（Ⅱ）直接利用点差法求得弦AB中点N的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）由圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，得（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圆C的圆心坐标C（1，2），半径为2，
当过点M的圆C的切线的斜率不存在时，圆的切线方程为x=3；
当过点M的圆C的切线的斜率存在时，
设过点M的圆C的切线方程为y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0．
由题意得：

|k-2-3k-2|

k2+1

=2，解得k=-

3

4

．
∴过点M的圆C的切线方程为-

3

4

x-y-3×(-

3

4

)-2=0，即3x+4y-1=0．
综上，过点M的圆C的切线方程为x=3或3x+4y-1=0；
（Ⅱ）设N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
(x1-1)2+(y1-2)2=4  ①，
(x2-1)2+(y2-2)2=4  ②，
两式作差得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2-2

y1+y2-4

=

x-1

y-2

．
∴

y+4

x-3

=

x-1

y-2

．
整理得：x²+y²-4x-2y+11=0．

点评：本题考查了圆的切线方程的求法，考查了点差法求与弦中点有关的曲线的轨迹方程，是中档题．