Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．
（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（﹣4，0）、D（0，4），

∴直线CD方程为 ．化简得x﹣y+4=0．

又∵△AOB的外接圆圆心为E（ ， ），半径r= ．

∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，

即 = ，即2 = ，解之得a=4

（2）解：C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|= =4 ，

设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S= |CD|×d=12，

即 ，解之得d=3 ．

因此，只须与CD平行且与CD距离为3 的两条直线中的一条与⊙E相切，

另一条与⊙E相交．

∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2 ，

∴圆E的半径为2 +3 =5 ，即r= =5 ，解得a=10．

即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．

【解析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（ ， ），半径r= ．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4 与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3 ．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3 的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．