题目内容
【题目】如图, 是边长为2的正方形
的
边的中点,将
与
分别沿
、
折起,使得点
与点
重合,记为点
,得到三棱锥
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求点到平面
的距离.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)由,
,可得
平面
,又
在平面
内,即可证得面面垂直;(Ⅱ)解:设点
到平面
的距离为
,根据三棱锥等体积可得
,根据体积公式代入即可求得
.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,∴
,
.
∵交
于点
,
,
在平面
内,∴
平面
,
∵在平面
内,∴平面
平面
.
(Ⅱ)解:设点到平面
的距离为
,
依题意可知,三角形是底边长为2,高为2的三角形,
所以其面积为.
由(Ⅰ)知平面
,易知
是边长为2的等边三角形,其面积为
,
,
所以,
∵,∴
,∴
.
点睛:本题考查面面垂直的判定以及等体积法求点线距,属于中档题目. 两平面垂直的判定有两种方法:(1)两个平面所成的二面角是直角;(2)一个平面经过另一平面的垂线.掌握基本的判定和性质定理外还应理解线线、线面、面面垂直的转化思想,逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.
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