题目内容
【题目】如图, 是边长为2的正方形的边的中点,将与分别沿、折起,使得点与点重合,记为点,得到三棱锥.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)由, ,可得平面,又在平面内,即可证得面面垂直;(Ⅱ)解:设点到平面的距离为,根据三棱锥等体积可得
,根据体积公式代入即可求得.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,∴, .
∵交于点, , 在平面内,∴平面,
∵在平面内,∴平面平面.
(Ⅱ)解:设点到平面的距离为,
依题意可知,三角形是底边长为2,高为2的三角形,
所以其面积为.
由(Ⅰ)知平面,易知是边长为2的等边三角形,其面积为, ,
所以,
∵,∴,∴.
点睛:本题考查面面垂直的判定以及等体积法求点线距,属于中档题目. 两平面垂直的判定有两种方法:(1)两个平面所成的二面角是直角;(2)一个平面经过另一平面的垂线.掌握基本的判定和性质定理外还应理解线线、线面、面面垂直的转化思想,逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.
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