题目内容
19．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$之间有关系|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，其中k＞0．（1）用k表示$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值，并求此时$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的夹角的大小．
分析 （1）根据向量长度和向量数量积的关系进行展开整理即可．
（2）根据向量数量积的公式进行求解即可．
解答 解：（1）要求用k表示$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，而已知|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，故采用两边平方，得：
|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|2=（$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|）2
k2$\overrightarrow{a}$2+$\overrightarrow{b}$2+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3（$\overrightarrow{a}$2+k2$\overrightarrow{b}$2-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$），
∴8k•$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（3-k2）$\overrightarrow{a}$2+（3k2-1）$\overrightarrow{b}$2
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{{（3-{k^2}）{{a}^2}+（3{k^2}-1）{{b}^2}}}{8k}$
∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），∴$\overrightarrow{a}$2=1，$\overrightarrow{b}$2=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{{3-{k^2}+3{k^2}-1}}{8k}$=$\frac{{{k^2}+1}}{4k}$．
（2）∵（k-1）2≥0即 k2+1≥2k，即$\frac{{{k^2}+1}}{4k}$≥$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$，
又∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosγ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴$\frac{1}{2}$=1×1×cosγ．
∴γ=60°，此时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的定义以及向量数量积与长度之间的关系是解决本题的关键．
| A． | $\frac{1}{99}$ | B． | $\frac{1}{1+2+3+…+99}$ | C． | $\frac{1}{100}$ | D． | $\frac{1}{1+2+3+…+100}$ |
| A． | $-\frac{4}{5}$ | B． | $-\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
| A． | {0，1} | B． | {-1，2} | C． | {-1，0} | D． | {1，2} |
| A． | （1，0） | B． | （0，-2） | C． | （0，0） | D． | （2，2） |