题目内容

1．等差数列{an}满足a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）证明：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．

分析 （I）设等差数列{an}的公差为d，由a5=14，a7=20，可得a1+4d=14，a1+6d=20，解得a1，d，即可得出通项公式．
（II）bn=2-2Sn，可得b1=2-2b1，解得b1．n≥2时，bn-1=2-2Sn-1，可得bn-bn-1=-2bn，化为bn=$\frac{1}{3}$bn-1．利用等比数列的定义通项公式即可得出．

解答 （I）解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=14，a7=20，
∴a1+4d=14，a1+6d=20，解得a1=2，d=3．
∴an=2+3（n-1）=3n-1．
（II）证明：∵bn=2-2Sn，∴b1=2-2b1，解得b1=$\frac{2}{3}$．
n≥2时，bn-1=2-2Sn-1，∴bn-bn-1=-2bn，化为bn=$\frac{1}{3}$bn-1．
∴数列{bn}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴bn=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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