Question

2．在△ABC中，若sin²（B+C）+cos²B+cos²C+sinBsinC≥2，则角A的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{π}{6}]$
• B． $[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$
• C． $（0，\frac{π}{3}]$
• D． $[\frac{π}{3}，π）$

Answer 1

分析 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．

解答 解：sin²（B+C）+cos²B+cos²C+sinBsinC≥2⇒sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，
由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，
∴a²≤b²+c²-bc，
∴bc≤b²+c²-a²
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{1}{2}$，
∴A≤$\frac{π}{3}$，
∵A＞0，
∴A的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．