Question

17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，$AD=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，F为AD的中点，M在线段CD上，且CM=λCD．
（1）当$λ=\frac{2}{3}$时，证明：平面PFM⊥平面PAB；
（2）当$λ=\frac{1}{3}$时，求平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值及四棱锥P-ABCM的体积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算FM，根据勾股定理得出FM⊥DM，即FM⊥AB，结合FM⊥PE得出FM⊥平面PAB，故平面PFM⊥平面PAB；
（2）AM⊥平面PAB，故∠PAB为二面角的平面角，求出AM，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）证明：当λ=$\frac{2}{3}$时，DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{1}{3}$AB=1，
又DF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠ABC=45°，
∴FM=$\sqrt{F{D}^{2}+D{M}^{2}-2FD•DM•cos45°}$=1，
∴FM²+DM²=FD²，
∴FM⊥DM．又DM∥AB，
∴FM⊥AB，
∵PE⊥平面ABCD，FM?平面ABCD，
∴PE⊥FM，PE∩AB=E，
∴FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM，
∴平面PDM⊥平面PAB．
（2）当$λ=\frac{1}{3}$时，由（1）可知AM⊥平面PAB，
∴AM⊥AB，AM⊥PA，
∴∠PAB为二面角P-AM-B的平面角，
∵PA=$\sqrt{P{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PE}{PA}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
在△ADM中，由余弦定理得AM=$\sqrt{8+4-2•2\sqrt{2}•2•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
∴S_梯形ABCM=$\frac{1}{2}$（1+3）×2=4，
∴${V_{P-ABCM}}=\frac{1}{3}{S_{梯形ABCD}}×PE=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．