题目内容

已知函数f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）．
（1）求函数f（x）在∈[0，
π
2
]的单调递减区间及值域；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间[
π
3
，
4π
3
]的图象（只作图不写过程）．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用正弦函数的单调性，由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3
2
π，k∈Z，即可求得函数f（x）的单调递减区间；再利用正弦函数的单调性与最值可求得f（x）在[0，
π
2
]的值域；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间[
π
3
，
4π
3
]的图象即可．
解答： 解：（1）令2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3
2
π，k∈Z，
解得：kx+
π
8
≤x≤kπ+
5
8
π，k∈Z．
又x∈[0，
π
2
]，
∴函数f（x）的单调递减区间为[
π
8
，
π
2
]…（3分）
∵x∈[0，
π
2
]，∴
π
4
≤2x+
π
4
≤+
5
4
π，∴sin(2x+
π
4
)∈[-
2
，1]，
∴函数f（x）的值域为[-2，
2
]…（6分）
（2）函数在区间[
π
3
，
4π
3
]的图象如下：
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的单调性及确定区间上的值域，考查作图能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x）的图象如图（抛物线的一部份与两条射线），求f（x）的解析式
已知函数f（x）=xlnx与函数g（x）=x+
1
ax
（x＞0）均在x=x0时取得最小值，设函数h（x）=f（x）-g（x），e为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：
1
e
是函数h（x）的一个极大值点；
（Ⅲ）证明：函数h（x）的所有极值点之和的范围是（
3
e
，
e+1
e
）．
已知|
AB
|=6，|
CD
|=9，求|
AB
-
CD
|的取值范围．
如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时
PM
•
PN
=0，则ω=
 
．
若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①都P，Q在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．已知函数f（x）=
k(x+1)，  x＜0
x2+1，  x≥0
有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是
 
．
将全体正整数排成一个三角形数阵：按照如图排列的规律，第20行从左向右的第3个数为
 
．
各项均为正数的等比数列{an}中，a2a4+a3a6+a4a5+a5a7=36，则a3+a6=
 
．
在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且
BC
=
CD
，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若
AO
=x
AB
+（1-x）
AC
，则x的取值范围是
 
．

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