Question

已知椭圆C的右焦点F（

2

，0），直线l：y=kx-1恒过椭圆短轴一个顶点B．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若A（0，1）关于直线l：y=kx-1的对称点P（不同于点A）在椭圆上，求出l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过恒过的定点，求出b，求出c，然后求出a，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）法1：当k=0时，判断点B（0，-3）不在椭圆上；当k≠0时，设AP：x=-ky+m，代入椭圆方程

x2

3

+y2=1利用额定电流以及对称知识求出k=±

3

，得到直线方程．
法2：设A（0，1）关于直线l：y=kx-1的对称点P（x₀，y₀）通过直线l：y=kx-1恒过点B，利用|BA|=|BP|，
求出AB坐标，然后求出直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）因为-1=k×0-1，所以直线l：y=kx-1恒过（0，-1），即B（0，-1）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知可得c=

2

，b=1，所以a²=b²+c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=-1，点B（0，-3）不在椭圆上；
当k≠0时，可设AP：x=-ky+m，代入椭圆方程

x2

3

+y2=1化简得（k²+3）y²-2kmy+m²-3=0，
yA+yP=

2km

k2+3

，所以xA+xP=-

2k2m

k2+3

+2m=

6m

k2+3

若A，P关于直线l对称，则其中点(

3m

k2+3

，

km

k2+3

)在直线y=kx-1上
所以

km

k2+3

=

3km

k2+3

-1，即2km=k²+3
又A（0，1）在直线AB：x=-ky+m上，所以m=k，
消m得k²=3，解得k=±

3

，
所以存在直线y=

3

x-1或y=-

3

x-1符合题意．
法2：设A（0，1）关于直线l：y=kx-1的对称点P（x₀，y₀）
因为直线l：y=kx-1恒过点B，
所以|BA|=|BP|，
所以x02+(y0+1)2=4①
又

x02

3

+y02=1②
联立①②解得

x0=0 y0=1

或

x0= 3 y0=0

或

x0=- 3 y0=0

因为P不同于点A，所以P(

3

，0)或P(-

3

，0)，
所以存在直线y=

3

x-1或y=-

3

x-1符合题意．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的对称关系的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系．