题目内容
设
与
是两个单位向量，其夹角为60°，且
=2
+
，
=-3
+2
．
（1）求
•
；
（2）分别求
，
的模；
（3）求
，
的夹角．
| e1 |
| e2 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
（1）求
| a |
| b |
（2）分别求
| a |
| b |
（3）求
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,向量的模,数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：对第（1）问，利用向量数量积的运算律，转化为向量
与
的数量积问题即可解决；
对第（2）问，要求|
|，先计算|
|2，由|
|=
求解；
对第（3）问，根据第（1）、（2）问的结论，由公式cosθ=
求解．
| e1 |
| e2 |
对第（2）问，要求|
| a |
| a |
| a |
|
|
对第（3）问，根据第（1）、（2）问的结论，由公式cosθ=
| ||||
|
|
解答：
解：（1）
•
═（2
+
）•（-3
+2
）
=-6
2+
•
+2
2=-6|
|2+|
||
|cos60°+2|
|2=-
，
（2）∵
=2
+
，∴|
|2=
2=（2
+
）2=4
2+4
•
+
2=7，
∴|
|=
，
同理|
|2=
2=(-3
+2
)2=9
2-12
•
+4
2=7，
∴|
|=
．
（3）设
，
的夹角为θ，则
cosθ=
=
=-
，
∵0≤θ≤π，∴θ=120°．
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
=-6
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| 7 |
| 2 |
（2）∵
| a |
| e1 |
| e2 |
| a |
| a |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
∴|
. |
| a |
| 7 |
同理|
| b |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
∴|
| b |
| 7 |
（3）设
| a |
| b |
cosθ=
| ||||
|
|
-
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
∵0≤θ≤π，∴θ=120°．
点评：本题考查了单位向量的模，向量数量的定义，模的计算公式及夹角的计算公式，知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解．
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