Question

【题目】已知f（x）=xex﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，

当a= 时，f′（x）=（x+1）ex﹣（x+1）=（x+1）（ex﹣1），

当x＞0或x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，

函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），单调递减区间为（﹣1，0）；

（2）解：若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，

即g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，

①a=0时，g（x）=x，显然不成立，

②故a＜0，g（x）=ax2+x开口向下，对称轴x=﹣ ，

﹣ ＜1即a＜﹣ 时，g（x）在[1，+∞）递减，

g（x）min=g（1）=a+1≤0，解得：a≤﹣1；

﹣ ≤a＜0时，g（x）在[1，﹣ ）递增，在（﹣ ，+∞）递减，

g（x）max=g（﹣ ）=﹣ ＞0，不成立，

综上：a≤﹣1．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0时，不成立，a＜0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．