Question

【题目】已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）= ．

∴f（1）=2+2a= ．得2a= ，即a=﹣1，

则函数f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x

（2）解：f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），

则函数f（x）是奇函数

（3）解：设0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + =（ ﹣ ）（1+ ），

∵y=2x是增函数，∴ ﹣ ＜0，又1+ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数

【解析】（1）根据条件利用待定系数法进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行证明，（3）根据函数单调性的定义进行证明即可．