Question

【题目】设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3， 当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=± ，
①当x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞ 时，f（x）为递增函数．
所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（ ）≥0，即a ﹣3 +1≥0，解得a≥4，
由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
所以答案是：4．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．