Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）抛物线y²=4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e，则2e-b²的值是（　　）

• A、

  2

  +1
• B、2

  2

  -2
• C、4-2

  2

• D、4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）与抛物线y²=4x共焦点，可得a²+b²=1．设双曲线与抛物线的一公共点为P（x₀，y₀）．（y₀＞0）．利用抛物线的性质可得x₀+1=2，进而得到y₀．把点P代入双曲线方程再与可得a²+b²=1联立解出即可．

解答： 解：由抛物线y²=4x可得焦点F（1，0），
又双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）与抛物线y²=4x共焦点，
∴a²+b²=1．
设双曲线与抛物线的一公共点为P（x₀，y₀）．（y₀＞0）．
∵点P到抛物线准线的距离为2，
∴x₀+1=2，解得x₀=1，
把x₀=1代入抛物线方程可得

y

2 0

=4×1，
解得y₀=2．
把点P（1，2）代入双曲线方程可得

1

a2

-

4

b2

=1．
联立

a2+b2=1 1 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=3-2 2 b2=2 2 -2

．
∴2e-b²=2

1 3-2 2

-(2

2

-2)=4．
故选：D．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．