题目内容
4．设（x+2）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n≥2），且a0，a1，a2成等差数列．（1）求（x+2）n展开式的中间项；
（2）求（x+2）n展开式所有含x奇次幂的系数和．
分析 （1）利用通项公式及其a0，a1，a2成等差数列．可得n．进而得出．
（2）在${（x+2）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_8}{x^8}$中，分别令令x=1，x=-1，即可得出．
解答 解：（1）${T_{r+1}}=C_n^r{2^{n-r}}{x^r}$，∴${a_0}={2^n}，{a_1}=n×{2^{n-1}}，{a_2}=\frac{n（n-1）}{2}×{2^{n-2}}$，（2分）
∵a0，a1，a2成等差数列，∴$2n×{2^{n-1}}={2^n}+\frac{n（n-1）}{2}×{2^{n-2}}⇒{n^2}-9n+8=0$（4分）
解得：n=8或n=1（舍去）
∴（x+2）n展开式的中间项是${T_5}=C_8^4{2^{8-4}}{x^4}=1120{x^4}$．（6分）
（2）在${（x+2）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_8}{x^8}$中，
令x=1，则38=a0+a1+a2+a3+…+a7+a8（8分）
令x=-1，则1=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8（10分）
两式相减得：$2（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}）={3^8}-1$
∴${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2}=3280$．（12分）
点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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12．已知函数f（x）=loga（x2-3ax）对任意的x1，x2∈[$\frac{1}{2}$，+∞），x1≠x2时都满足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （0，1） | B． | （0，$\frac{1}{3}$] | C． | （0，$\frac{1}{6}$） | D． | （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$] |
