Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[-2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；
（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （1）配方，分类讨论，求g（a）的表达式；
（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有两个不同零点，确定a，b，c的范围，即可求a+b+c的最小值．

解答 解：（1）a=c＞0，f（1）=1，则a+b+a=1，b=1-2a，
∴f（x））=ax²+（1-2a）x+a=a$（x+\frac{1-2a}{2a}）^{2}$+$\frac{4a-1}{4a}$，
当1-$\frac{1}{2a}$≤-2，即0＜a≤$\frac{1}{6}$时，g（a）=f（-2）+f（2）=10a；
当-2＜1-$\frac{1}{2a}$≤0，即$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{1}{2}$时，g（a）=f（1-$\frac{1}{2a}$）+f（2）=a-$\frac{1}{4a}$+3，
当a＞$\frac{1}{2}$时，g（a）=f（1-$\frac{1}{2a}$）+f（-2）=9a-$\frac{1}{4a}$-1，
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{10a，0＜a≤\frac{1}{6}}\\{a-\frac{1}{4a}+3，\frac{1}{6}＜a≤\frac{1}{2}}\\{9a-\frac{1}{4a}-1，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）函数f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有两个不同零点x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$＜0，$\frac{1}{16}$＞x₁x₂=$\frac{c}{a}$＞0
∴a＞16c，
由根的分布可知f（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{16}$a-$\frac{1}{4}$b+c＞0，即a+16c＞4b，
∵a，b，c为正整数，∴a+16c≥4b+1
f（0）=c＞0，△＞0，b$＞2\sqrt{ac}$，
∴a+16c＞8$\sqrt{ac}$+1，可得（$\sqrt{a}-4\sqrt{c}$）²＞1，
∵a＞16c，∴$\sqrt{a}-4\sqrt{c}$＞1，
∴$\sqrt{a}$$＞4\sqrt{c}+1≥4+1$，∴a＞25，
∴a≥26，
∴b$＞2\sqrt{ac}$≥$\sqrt{26}$，∴b≥11，c≥1．
f（x）=26x²+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c的最小值为38．

点评 本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，难度大．