Question

7．某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），当x=10时，s=102，景点新增毛收入f（x）（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若将$\frac{f（x）}{x}$定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率（参考数据：ln5=1.61）

Answer 1

分析 （1）通过将x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）整理、计算可知a=$\frac{1}{10}$，进而计算可得结论；
（2）通过记g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，计算可知g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），通过求导、根据函数的单调性计算即得结论．

解答 解：（1）将x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），
得：102=102-10+10-10ln（10a），即a=$\frac{1}{10}$，
∴s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60），
∴y=f（x）=s-x
=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60）；
（2）记g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-ln（$\frac{1}{10}$x），则g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），
令g′（x）=$\frac{51}{50}$-$\frac{1}{50}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{51x-{x}^{2}-50}{50x}$=$\frac{-（x-1）（x-50）}{50x}$=0，
可知x=1或x=50，
列表如下：

x	1	（1，50）	50	（50，60）	60
g′（x）	0	+	0	-
g（x）		↑	极大值	↓

由上表可知，g（50）是极大值，也是最大值，
g（x）_max=g（50）=51-25-ln5=26-1.61=24.39，
答：当投入资金50万元时，改造资金的收益最高，最高效益率为24.39．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．