Question

斜率为1的直线L经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离为2，则p的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直线过其焦点且斜率为1，可得方程，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由于直线过其焦点且斜率为1，可得方程为y=x-

p

2

．
代入抛物线方程可得x2-3px+

p2

4

=0
∴x₁+x₂=3p，
∵AB的中点到抛物线准线的距离为2，
∴3p+p=4，
解得p=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于基础题．