Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,空间中直线与平面之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行，．由已知条件推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PAC．
（II）由线面垂直得EB⊥PA，又EB⊥AB，从而EB⊥平面PAB，进而AF⊥BE，由等腰三角形性质得AF⊥PB，从而AF⊥平面PBE，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

解答： （I）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．…（2分）
∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．
∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC，…（3分）
而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC…（5分）
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，…（6分）
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，…（8分）
又PA=PB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，…（9分）
又∵PB∩BE=B，PB，BE?PBE，
∴AF⊥平面PBE．…（11分）
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．…（12分）

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．