Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2

3

π．
（Ⅰ）求角A，B的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（x+A）+cosx，求f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，求出A，B的关系，即可求解A，B的大小；
（Ⅱ）化简函数f（x）=sin（x+A）+cosx的表达式，通过函数在[-

π

6

，

π

3

]上的单调性，即可求解函数的值域．

解答： （本题14分）
解：（Ⅰ）∵

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sin2A=sin2B，
可得：A=B或A+B=

π

2

（舍去），∵∠C=

2

3

π，则A=B=

π

6

．
（Ⅱ）函数f（x）=sin（x+

π

6

）+cosx=

3

sin（x+

π

3

），
而正弦函数y=

3

sin（x+

π

3

），在[

π

6

，

π

2

]，上单调递增，在[

π

2

，

2π

3

]，单调递减
∴函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最小值为

3

2

，最大值为

3

，
即f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域[

3

2

，

3

]．

点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角函数的单调性与最值，考查计算能力．