Question

设f（x）在R上单调的是奇函数，若f（k•log₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，?t＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：依题意，可得f（k•log₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2），由f（0）＞f（2），f（x）在R上为单调的函数，可知f（x）在R上为单调递减的函数，从而可脱去外层函数的“外衣”，利用二次函数的性质，即可求得实数k的取值范围．

解答： 解：依题意，得：f（k•log₂t）＞-f（log₂t-log₂²t-2）=f（log₂²t-log₂t+2），
令t=1，则f（0）＞f（2），由于f（x）在R上为单调的函数，
所以，f（x）在R上为单调递减的函数，
所以k•log₂t＜log₂²t-log₂t+2，即log₂²t-（k+1）log₂t+2＞0恒成立，
所以，△=（k+1）²-4×1×2＜0，解得：-2

2

-1＜k＜2

2

-1．
故实数k的取值范围为（-2

2

-1，2

2

-1）．

点评：本题考查函数恒成立问题，依题意，分析得到f（x）在R上为单调递减的函数是关键，考查二次函数的性质与应用，属于中档题．