Question

14．在平面直角坐标系xoy中，双曲线$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{3m}=1$的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是{$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 根据题意，先由双曲线的方程分析可得m的取值范围，进而又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即$\sqrt{2{m}^{2}+3m}$=3，解可得m的值，结合m的范围可得m的值，用集合表示即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{3m}=1$，则有$\left\{\begin{array}{l}{2{m}^{2}＞0}\\{3m＞0}\end{array}\right.$，解可得m＞0，
则有c=$\sqrt{2{m}^{2}+3m}$，
又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，
即$\sqrt{2{m}^{2}+3m}$=3，
解可得：m=-3或$\frac{3}{2}$，
又由m＞0，
则m=$\frac{3}{2}$；
即所有满足条件的实数m构成的集合是{$\frac{3}{2}$}；
故答案为：{$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意焦距是2c．