Question

4．如图，在几何体A₁B₁C₁-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥CC₁，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1，且AA₁=1．
（Ⅰ）求证：平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求平面ABC与平面A₁BC₁所成锐角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）求出平面ABC的法向量和平面A₁B₁C₁的法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面A₁BC₁所成锐角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵几何体A₁B₁C₁-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁⊥平面ABC，
AA₁∥BB₁∥CC₁，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1，且AA₁=1．
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，1），B₁（0，2，3），C₁（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），
设平面A₁B₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设平面A₁ABB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
解：（Ⅱ）平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
平面A₁B₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
则cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面ABC与平面A₁BC₁所成锐角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．