Question

5．在区域$Ω=\left\{{（x，y）|\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+y≤1\\ x-y≤1\end{array}\right.}\right\}$中，若满足ax+y＞0的区域面积占Ω面积的$\frac{1}{3}$，则实数a的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 先利用二元一次不等式（组）与平面区域，根据约束条件画出可行域，然后求出区域的面积即可，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定a的值

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
可知A（0，1），B（0，-1），C（1，0），x，y满足约束条件，
则点P（x，y）所在区域的面积就是三角形的面积：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
设y=-ax，
结合图形可知a＜0时，才能满足满足ax+y＞0的区域面积占Ω面积的$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-ax}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得x_D=$\frac{1}{1-a}$，
则S_△OAD=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{3}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．