Question

3．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列．
（1）求展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项的二项式系数及项的系数；
（2）求展开式中所有项的系数之和．

Answer 1

分析 （1）写出二项展开式的通项，由题意求出n，再代入通项求得展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项的二项式系数及项的系数；
（2）直接在二项式中取x=1求得展开式中所有项的系数之和．

解答 解：（1）由${T}_{r}={C}_{n}^{r}（\sqrt{x}）^{n-r}（\frac{x}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{C}_{n}^{r}{x}^{\frac{n+r}{2}}$．
知展开式中前三项的系数分别是：${C}_{n}^{0}，\frac{1}{2}{C}_{n}^{1}，\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，
则1+$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$，解得：n=8．
∴展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项为第4项，其二项式系数为${C}_{8}^{3}$=56；
项的系数为$（\frac{1}{2}）^{3}×56=7$；
（2）展开式中所有项的系数之和为$（1+\frac{1}{2}）^{8}=（\frac{3}{2}）^{8}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了二项式系数的性质，关键是注意项的系数与二项式系数的区别，是基础题．