题目内容
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值为 ．
考点：直线与平面所成的角
专题：空间角
分析：连结A1C1，交B1D1于点M，连结BM，由已知得∠A1BM是直线A1B与平面BDD1B1所成角，由此能求出直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值．
解答：
解：连结A1C1，交B1D1于点M，连结BM，
∵A1B1C1D1是正方形，∴A1M⊥B1D1，
又DD1⊥A1M，∴A1M⊥平面BDD1B1，
∴∠A1BM是直线A1B与平面BDD1B1所成角，
设AA1=3AB=3，则A1M=
，A1B=
=
，
∴sin∠A1BM=
=
=
．
∴直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值为
．
故答案为：
．
∵A1B1C1D1是正方形，∴A1M⊥B1D1，
又DD1⊥A1M，∴A1M⊥平面BDD1B1，
∴∠A1BM是直线A1B与平面BDD1B1所成角，
设AA1=3AB=3，则A1M=
| ||
| 2 |
| 1+9 |
| 10 |
∴sin∠A1BM=
| A1M |
| A1B |
| ||||
|
| ||
| 10 |
∴直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值为
| ||
| 10 |
故答案为：
| ||
| 10 |
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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