Question

若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

），
则下列函数中，符合上述条件的有

 

．（填序号）
①f（x）=cos4x　   ②f（x）=sin（2x+

π

2

）    ③f（x）=sin（4x+

π

2

）　　④f（x）=cos（

3π

2

-4x）

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

）求出函数的周期，再根据函数为偶函数，逐一核对四个选项后得答案．

解答： 解：函数f（x）是偶函数，由f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

），
得f(x)=f(x+

π

2

)，即函数f（x）的周期为

π

2

．
函数f（x）=cos4x是偶函数，周期为

2π

4

=

π

2

．满足条件；
函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，是偶函数，周期为π．不满足条件．
函数f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x是偶函数，周期为

2π

4

=

π

2

．满足条件；
函数f（x）=cos（

3π

2

-4x）=-sin4x为奇函数．不满足条件．
∴符合上述条件的有①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数的诱导公式，是中档题．