Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为6π，且f（

π

2

）=

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设α∈[

π

2

，π]，f（3α+π）=

10

13

，f（3β+

5π

2

）=-

6

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,二倍角的正弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由已知及周期公式可求得ω的值，由f（

π

2

）=

3

可求得A的值，从而可得f（x）的解析式；
（2）由f（3α+π）=

10

13

及诱导公式可求得cosα，sinα的值，从而由倍角公式即可求解．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）依题意，

2π

ω

=6π，得ω=

1

3

…（2分）
则f(

π

2

)=Asin

π

3

=

3

2

A=

3

，得A=2…（5分）
∴f(x)=2sin(

1

3

x+

π

6

)…（6分）
（2）∵f（3α+π）=2sin（α+

π

2

）=2cosα=

10

13

，
∴cosα=

5

13

，…（8分）
∵α∈[

π

2

，π]
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，…（10分）
∴sin2α=2sinαcosα=2×

12

13

×

5

13

=

120

169

…（12分）

点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．