题目内容
在△ABC中，若
=
，
=
（1）若D为BC上的点，且
=t
，求证：
=（1-t）
+t
；
（2）若P，Q是线段BC的三等分点，试证：
+
=
+
；
（3）若P，Q，S是线段BC的四等分点，试证：
+
+
=
(
+
)
（4）如果A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？并加以证明．（注：1+2+3+…+n=
）
| AB |
| a |
| AC |
| b‘ |
（1）若D为BC上的点，且
| BD |
| BC |
| AD |
| a |
| b |
（2）若P，Q是线段BC的三等分点，试证：
| AP |
| AQ |
| a |
| b |
（3）若P，Q，S是线段BC的四等分点，试证：
| AP |
| AQ |
| AS |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
（4）如果A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？并加以证明．（注：1+2+3+…+n=
| n(n+1) |
| 2 |
考点：线段的定比分点,平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）画出图形，结合图形，根据向量的加减法运算法则，得出
的向量表示；
（2）当P，Q是线段BC的三等分点时，利用平行四边形法则，得出
+
=
+
=
+
；
（3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，根据向量的合成法则，得出
+
=
+
=2
，从而得出结论；
（4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，得出
+
+
+…+
=
（
+
）；
结合图形，利用向量的加减运算，证明即可．
| AD |
（2）当P，Q是线段BC的三等分点时，利用平行四边形法则，得出
| AP |
| AQ |
| AB |
| AC |
| a |
| b |
（3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，根据向量的合成法则，得出
| AB |
| AC |
| AP |
| AS |
| AQ |
（4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，得出
| AA1 |
| AA2 |
| AA3 |
| AAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
结合图形，利用向量的加减运算，证明即可．
解答：
解：（1）△ABC中，
=
，
=
，D为BC上的点，且
=t
，
如图1所示：
∴
=
+
=
+t
=
+t（
-
）=（1-t）
+t
=（1-t）
+t
；
（2）当P，Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，
连接PD，QD，如图2所示：
则
+
=
，
∵OB=OC，BP=CQ=
BC，
∴OP=OQ，且OA=OD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴
+
=
=
+
=
+
；
（3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，如图3所示：
则Q是BC的中点，
+
=
+
=2
∴
+
+
=
（
+
）=
（
+
）
（4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，
+
+
+…+
=
（
+
）；如图所示：
：
证明如下，∵
=
-
=
-
=
-
，
=
-
=
-
，…，
同理
=
-
，
∴
+
+…+
=（n-1）
-（
+
+..+
）
=（n-1）
-
•
=（n-1）
-
（
-
）
=
（
+
）
=
（
+
）．
| AB |
| a |
| AC |
| b‘ |
| BD |
| BC |
如图1所示：
∴
| AD |
| AB |
| BD |
| AB |
| BC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AB |
| AC |
| a |
| b |
（2）当P，Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，
连接PD，QD，如图2所示：
则
| AB |
| AC |
| AD |
∵OB=OC，BP=CQ=
| 1 |
| 3 |
∴OP=OQ，且OA=OD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴
| AP |
| AQ |
| AD |
| AB |
| AC |
| a |
| b |
（3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，如图3所示：
则Q是BC的中点，
| AB |
| AC |
| AP |
| AS |
| AQ |
∴
| AP |
| AQ |
| AS |
| 3 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
（4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，
| AA1 |
| AA2 |
| AA3 |
| AAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
：证明如下，∵
| AA1 |
| BA1 |
| BA |
| AB |
| A1B |
| AB |
| 1 |
| n |
| CB |
| AA2 |
| AB |
| A2B |
| AB |
| 2 |
| n |
| CB |
同理
| AAn-1 |
| AB |
| n-1 |
| n |
| CB |
∴
| AA1 |
| AA2 |
| AAn-1 |
| AB |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
| CB |
=（n-1）
| AB |
| n(n-1) |
| 2 |
| 1 |
| n |
| CB |
=（n-1）
| AB |
| n-1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
=
| n-1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
=
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
点评：本题考查了平面向量的加减运算的几何意义，也考查了类比推理的应用问题，是综合性题目．
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