Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（1）求A；
（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b²的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA．…（2分）
在△ABC中，C=π-A-B，
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．…（4分）
由以上两式得sinA=cosA，即tanA=1，…（5分）
又A∈（0，π），
所以A=$\frac{π}{4}$．                  …（6分）
（2）由于S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc，…（7分）
由a=2，及余弦定理得：4=b²+c²-2bccosB=b²+c²-$\sqrt{2}bc$，…（8分）
因为b=c，
所以4=2b²-$\sqrt{2}$b²，即b²=$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=4$+2\sqrt{2}$，…（10分）
故△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{2}}{4}$b²=$\sqrt{2}+1$．  …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．