Question

2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），且在[0，1]上是增函数，则f（$\frac{1}{4}$），f（-$\frac{1}{4}$），f（$\frac{3}{2}$）的大小关系是$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$-2）=-f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），又由函数在[0，1]上是增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在[-1，0]上也是增函数，则有f（-$\frac{1}{4}$）＜f（0）＜f（$\frac{1}{4}$）＜f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x），有f（x-2）=-f（x），即f（x）=-f（x-2），
则有f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$-2）=-f（-$\frac{1}{2}$），
又由函数f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），
f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），即-f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
综合有f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则其在[-1，0]上也是增函数，
则有f（-$\frac{1}{4}$）＜f（0）＜f（$\frac{1}{4}$）＜f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
即$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$
故答案为：$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（$\frac{3}{2}$）与f（$\frac{1}{2}$）的关系．