题目内容
9．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：（1）f（x）=x2；（2）f（x）=x2+1；$（3）f（x）=\sqrt{|x|}$；（4）f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”f（x）的序号为（ ）| A． | （1）（2） | B． | （3）（4） | C． | （1）（3） | D． | （2）（4） |
分析 根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义an•an+2=an+12，逐一判断四个函数，即可得到结论．
解答 解：根据题意，由等比数列性质知an•an+2=an+12，
（1）、f（x）=x2，f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1），故（1）是“保等比数列函数”；
（2）、f（x）=x2+1，f（an）f（an+2）≠f2（an+1），故（2）不是“保等比数列函数”；
（3）、f（x）=$\sqrt{|x|}$，f（an）f（an+2）=$\sqrt{|{a}_{n}||{a}_{n+2}|}$=（$\sqrt{|{a}_{n+1}|}$）2=f2（an+1），故（3）是“保等比数列函数”
（4）、f（x）=ln|x|，则f（an）f（an+2）=ln（|an|）•ln（|an+2|）≠ln（|an+1|）2=f2（|an+1|），故（4）不是“保等比数列函数”；
故选：C．
点评 本题考查等比数列判定，涉及函数值的计算，理解“保等比数列函数”的定义是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
4．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且在[1，2]上是减函数，则（ ）
| A． | $f（\frac{1}{2}）＜f（-\frac{3}{2}）＜f（3）$ | B． | $f（3）＜f（-\frac{3}{2}）＜f（\frac{1}{2}）$ | C． | $f（\frac{1}{2}）＜f（3）＜f（-\frac{3}{2}）$ | D． | $f（3）＜f（\frac{1}{2}）＜f（-\frac{3}{2}）$ |