Question

16．已知数列{a_n}是等比数列，a₃=4，且a₃是a₂+4与a₄+14的等差中项；数列{b_n}是等差数列，b₂=16，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式及λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q．
∵a₃是a₂+4与a₄+14的等差中项．
∴2a₃=a₂+4+a₄+14，又a₃=4，
∴8=$\frac{4}{q}$+4+4q+14，
化为2q²+5q+2=0，
解得q=-2或q=-$\frac{1}{2}$．
当q=-2时，数列{a_n}的通项公式为a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=4×（-2）^n-3=（-2）^n-1．
当q=-$\frac{1}{2}$时，数列{a_n}的通项公式为a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=$4×（-\frac{1}{2}）^{n-3}$=$（-\frac{1}{2}）^{n-5}$．
（2）设数列{b_n}的公差为d．
由T_n=nλ•b_n+1，
得$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{b}_{3}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{16-d=16λ}\\{16-d+16=2λ（16+d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{λ=1}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{d=8}\\{λ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
此时数列{b_n}的通项公式为b_n=b₂+（n-2）d=16+8（n-2）=8n，
则b_n+1=8（n+1），b₁=8，
数列{b_n}的前n项和为T_n=8n+$\frac{n（n-1）}{2}$×8=4n（n+1），
而nλ•b_n+1=n×$\frac{1}{2}$8（n+1）=4n（n+1），满足T_n=nλb_n+1，符合题意，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=8n且$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．