Question

设集合A={x|y=

x-4 2-x

}，B={k|g(x)=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定义域为R}
（1）若命题p：m∈A，命题q：m∈B，且“p且q”为假，“p或q”为真，试求实数m的取值范围．
（2）若f是A到B的函数，使得f：x→y=

2

x-1

，若a∈B，且a∉{y|y=f（x），x∈A}，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用

a＞ △≤0

求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集．

解答： 解：（1）解

x-4

2-x

≥0得2＜x≤4，A=（2，4]；
∴命题p：m∈A，为真，则2＜m≤4；
∵g（x）的定义域为R，
则k=0或

k≠0 △=k2-4k＜0

⇒0≤k＜4，
∴命题q为真命题时，0≤m＜4，
由复合命题真值表知：若“p且q”为假，“p或q”为真，则命题p，q一真一假，
当p真q假时，则

2＜m≤4 m≥4或m＜0

⇒m=4；
当p假q真时，则

m≤2或m＞4 0≤m＜4

⇒0≤m≤2．
综上实数m的取值范围是m=4或0≤m≤2．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了分式不等式的解法及二次分式函数的定义域，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时m的范围．