Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． （0，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根据分段函数是在R上单调递减，可得0＜a＜1，故而二次函数在（$-∞，-\frac{b}{2a}）$单调递减，可得$-\frac{b}{2a}≥0$．且[x²+（4a-3）x+3a]_min≥[log_a（x+1）+1]_max即可得a的取值范围．

解答 解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，
根据二次函数开口向上，在（$-∞，-\frac{b}{2a}）$单调递减，可得$-\frac{b}{2a}≥0$，即$-\frac{4a-3}{2}≥0$，解得：$a≤\frac{3}{4}$．
且[x²+（4a-3）x+3a]_min≥[log_a（x+1）+1]_max
故而得：3a≥1，解得：a$≥\frac{1}{3}$．
∴a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数问题，属于基础题．