Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+（b-2）x+3，且-1，3是函数f（x）的零点．
（Ⅰ）求f（x）解析式，并解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）若g（x）=f（sinx），求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的零点求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，结合三角函数的性质求出g（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）∵-1，3是函数f（x）的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-（b-2）+=0}\\{9a+3（b-2）+3=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=4，
故f（x）=-x²+2x+3，
由f（x）≤3，解得：x≥2或x≤0，
故不等式的解集是：{x|x≤0或x≥2}；
（Ⅱ）g（x）=f（sinx）=-（sinx）²+2sinx+3=-（sinx-1）²+4，
故sinx=-1时，g（x）最小为0，sinx=1时，g（x）最大，最大值是4，
故函数g（x）的值域是[0，4]．

点评 本题考查了二次函数以及三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题以及解不等式问题，是一道中档题．