Question

18．棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E，F在棱C₁D₁上运动，且EF=1，P为CC₁的中点，若Q在AB上运动，则四面体QEFP的体积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接BC₁，过中点P作PM⊥BC₁，垂足为M．利用正方体的性质与面面垂直的性质可得：PM⊥平面ABC₁D₁．PM=PC₁sin45°．S_△EFQ=$\frac{1}{2}EF•B{C}_{1}$．可得V_P-EFQ=$\frac{1}{3}PM•{S}_{△EFQ}$．

解答 解：如图所示，
连接BC₁，过中点P作PM⊥BC₁，垂足为M．
由正方体的性质可得：平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，
则PM⊥平面ABC₁D₁．
PM=PC₁sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
S_△EFQ=$\frac{1}{2}EF•B{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$．
∴V_P-EFQ=$\frac{1}{3}PM•{S}_{△EFQ}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．