Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式化简即可得出．
（2）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵bcosA+（2c+a）cosB=0，
∴sinBcosA+（2sinC+sinA）cosB=0，化为sin（A+B）+2sinCcosB=0，
∴sinC+2sinCcosB=0，∵sinC≠0，∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：4²=a²+c²-2ac$cos\frac{2π}{3}$，可得a²+c²+ac=16．
由S=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得ac=4．
∴（a+c）²=16+ac=20，
解得a+c=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．