Question

9．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，若向量$\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow c-（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，则$|{\overrightarrow c}|$的最大值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，利用坐标法设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow c$=（x，y），求出$\overrightarrow c$对应点的轨迹，进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$
∴设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow c$=（x，y），
则由足$|{\overrightarrow c-（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，得|（x，y）-（1，1）|=|（1，-1）|，
即$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，
即（x-1）²+（y-1）²=2，
即$\overrightarrow c$对应点的轨迹在以（1，1）为圆心的圆上，
∵圆过圆心，
∴$|{\overrightarrow c}|$的最大值为圆的直径2$\sqrt{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用坐标法，结合数形结合是解决本题的关键．