Question

已知正三角形ABC的顶点A（

3

，1），B（3

3

，1），顶点C在第一象限，若点M（x，y）在△ABC的内部或边界，则z=

OA

•

OM

取最大值时，3x²+y²有（　　）

• A、定值52
• B、定值82
• C、最小值52
• D、最小值50

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的相关运算及线性规划，求出z=

OA

•

OM

取最大值时，x，y满足的关系式，再利用二次函数的相关知识求出最值即可．

解答： 解：由题意得C(2

3

，4)，

OA

=(

3

，1)，

OM

=（x，y）
∴z=

OA

•

OM

=

3

x+y，
∴kBC=-

3

，
故z=

OA

•

OM

取最大值时，点M（x，y）的坐标满足

3

x+y=10(2

3

≤x≤3

3

)，
∴y=10-

3

x(2

3

≤x≤3

3

)，
∴s=3x2+y2=3x2+(10-

3

x)2=6x2-20

3

x+100，
∵对称轴x=

5 3

3

，
∴s=f（x）在[2

3

，3

3

]上单调递增
∴当x=2

3

时s有最小值52
故选：C．

点评：本题主要考察了向量的相关运算及二次函数的最值求解问题，属于中档题．