Question

有如下几个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）最小值为4；
③等差数列{a_n}和{b_n}前n项和分别为S_n和T_n，且

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，则

a5

b5

=

9

14

；
④若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是4006；
其中正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型

分析：①可运用三角函数的诱导公式和三角形的内角和定理来判断①；
②注意运用基本不等式求最值，一定要检验等号成立的条件，若不成立，则需采用其它方法求最值，可运用函数的单调性求得；
③可由

a5

b5

出发，运用等差数列的性质变形得

S9

T9

，再由

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，即可判断③；
④根据条件判断a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，公差小于0，再由等差数列的性质得：a₁+a₄₀₀₆＞0，a₁+a₄₀₀₇=2a₂₀₀₄＜0，即S₄₀₀₆＞0，S₄₀₀₇＜0，从而可判断④．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确；
②当x∈（0，π）时，0＜sinx≤1，而函数y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，其等号成立的条件是sinx=2∉（0，1]，故它的最小值不为4，
事实上，令sinx=t（0＜t≤1），则y=t+

4

t

，导数y′=1-

4

t2

＜0，故（0，1]是减区间，当t=1时，y取得最小值，且为5．故②不正确；
③由于数列{a_n}和{b_n}均为等差数列，则

a5

b5

=

2a5

2b5

=

a1+a9

b1+b9

=

9 2 (a1+a9)

9 2 (b1+b9)

=

S9

T9

，
又前n项和分别为S_n和T_n，且

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，故有

S9

T9

=

2×9

3×9+1

=

9

14

．故③正确；
④由于{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，
所以a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，公差小于0，又a₁+a₄₀₀₆=a₂+a₄₀₀₅=…=a₂₀₀₃+a₂₀₀₄，
故S₄₀₀₆=

4006

2

×（a₁+a₄₀₀₆）＞0，S₄₀₀₇=

4007

2

（a₁+a₄₀₀₇）=4007•a₂₀₀₄＜0，
即使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是4006．故④正确．
故选：C．

点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查基本不等式求最值，等差数列的通项与求和公式，以及前n项和最大与S_n＞0时n的最大值的区别，同时考查解三角形的有关知识，是一道综合题．