Question

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，CD=3，AB=1，EA=AD=DE=2，EC=

13

．
（Ⅰ）求证：平面EAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AD的中点H，连结EH、CH，由已知条件得△ADE为正三角形，从而得到EH⊥AD，由勾股定理得EH⊥HC，所以EH⊥平面ABCD，由此能证明平面EAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，利用向量法能求出二面角D-BE-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AD的中点H，连结EH、CH，
∵EA=AD=DE=2，∴△ADE为正三角形，
∴EH⊥AD，EH=3，
在Rt△HDC中，CD=3，DH=1，
∴HC=

32+12

=

10

，
在△EHC中，EH=

3

，HC=

10

，EC=

13

，
∴EC²=EH²+HC²，
∴∠EHC=90°，EH⊥HC，
又∵AD?平面ABCD，HC?平面ABCD，
AD∩HC=H，∴EH⊥平面ABCD，
又∵EH?平面EAD，
∴平面EAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，
则H（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
D（-1，0，0），C（-1，3，0），E（0，0，

3

），

BD

=(-2，-1，0)，

BE

=(-1，-1，

3

)，

BC

=(-2，2，0)，
设平面DEB的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • BD =-2x-y=0 m • BE =-x-y+ 3 z=0

，取z=1，得

m

=(-

3

，2

3

，1)，
设平面CBE的法向量

n

=(a，b，c)，
则

n • BE =-a-b+ 3 c=0 -2a+2b=0

，取a=

3

，得

n

=(

3

，

3

，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

5

4 10

=

10

8

．
∴二面角D-BE-C的余弦值为

10

8

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．