Question

11．在极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，
（1）曲线C₁与曲线C₂交于两点A，B，求A，B两点之间的距离；
（2）设点M（x，y）为直角坐标系中曲线C₂上任意一点，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心C₂到直线的距离d．利用勾股定理求A，B两点之间的距离；
（2）设x+y=t，则圆心到直线的距离=$\frac{|1-2+t|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{5}$，由此求x+y的最大值．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，直角坐标方程为x+y-1=0；
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=2x-4y，配方为（x-1）²+（y+2）²=5，可得圆心C₂（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{5-2}$=$2\sqrt{3}$；  
（2）设x+y=t，则圆心到直线的距离=$\frac{|1-2+t|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{5}$，∴-$\sqrt{10}$-1≤t≤$\sqrt{10}-1$，
∴t的最大值为$\sqrt{10}-1$，
∴x+y的最大值为$\sqrt{10}-1$．

点评 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的相交问题、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．