Question

2．已知$\frac{sinβ}{sinα}=cos（α+β）$，其中α，$β∈（0，\frac{π}{2}）$，
（1）求证：$tanβ=\frac{sin2α}{3-cos2α}$；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和余弦公式，将sinαcos（α+β）展开，并分离构造出tanβ，并继续转化．
（2）由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，再根据△=1-4（2tanβ）•tanβ≥0，求得tanβ的最大值．

解答 （1）证明：∵$\frac{sinβ}{sinα}=cos（α+β）$，
∴sinβ=sinαcos（α+β）=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，即sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ
∴$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{2+2si{n}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$．
命题得证；
（2））∵sinβ=cos（α+β）sinα=sinαcosαcosβ-sinβsin²α
∴sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ，
∴tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$
即tanβ=$\frac{tanα}{2ta{n}^{2}α+1}$，
∵2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，
∴（-1）²≥4（2tanβ）•tanβ，
∴tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立．
故tanβ的最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于基础题．