Question

14．若不等式$\frac{{a}^{2}+a+2}{x}$$＜\frac{1}{{x}^{2}}$+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，则复数z=a+i²⁷在复平面上对应的点位于（　　）

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 把原不等式化为a²+a+2＜$\frac{1}{x}$+x，求出$\frac{1}{x}$+x的最小值，从而求出a的取值范围，
再求复数z在复平面上对应的点位于哪一象限．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴不等式$\frac{{a}^{2}+a+2}{x}$$＜\frac{1}{{x}^{2}}$+1可化为
a²+a+2＜$\frac{1}{x}$+x，
且该不等式对任意x∈（0，+∞）恒成立，
又$\frac{1}{x}$+x≥2恒成立，
∴a²+a+2＜2，
解得-1＜a＜0；
∴复数z=a+i²⁷=a-i，
在复平面上对应的点位于第三象限．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题目．